Depth of Field(피사계 심도)와 Depth of Focus(초점 심도)

본 내용은 이미징 리소스 가이드의 단원 3.4에 해당합니다.

Depth of Field(DOF, 피사계 심도)와 Depth of Focus(초점 심도)는 이름과 특성이 유사하기 때문에 자주 혼동되는 개념입니다. 사용자의 목적에 맞게 개념을 정리하자면 depth of field는 피사체가 움직일 때 고정된 렌즈의 이미지 품질과 관련된 것인 반면 depth of focus는 피사체가 고정된 상태에서 틸트 등으로 인해 센서 위치가 바뀔 때 센서가 초점을 유지할 수 있는 능력과 관련됩니다.

피사계 심도(DOF, Depth of Field)

렌즈의 DOF는 피사체의 위치가 최상의 초점면으로부터 가까워지거나 멀어질 때 초점을 다시 맞추지 않고도 원하는 이미지 품질을 유지하는 능력을 가리킵니다(지정된 콘트라스트에서의 공간 주파수). 이러한 DOF는 형태가 복잡하거나 다양한 높이를 갖고 있는 피사체에 적용됩니다. 렌즈에 설정된 초점 거리보다 가깝거나 멀리 배치되면 피사체가 흐려지고 해상도과 콘트라스트가 모두 저하됩니다. 따라서 DOF는 관련 해상도 및 콘트라스트와 함께 정의될 때만 의미가 있습니다. 몇몇 타깃을 이용하면 이미징 시스템의 DOF를 직접 측정하고 비교분석할 수 있으며, 관련 타깃에 관한 자세한 내용은 테스트 타깃 개요 편에서 다룹니다.

해상도와 피사계 심도

"이 렌즈는 우수한 DOF를 가지고 있습니까?"라는 질문에는 피사체의 디테일 크기나 이미지 공간 주파수를 명확하게 지정하지 않은 상태에서 이를 정량화하기란 어렵다고 답할 수 있습니다. 디테일 크기가 작아지고 필요한 공간 주파수가 높을수록 렌즈가 만들어내는 DOF는 작아질 수밖에 없습니다. 특정 디테일 크기에서 주어진 깊이로 렌즈의 성능을 확인하려면 DOF 곡선을 사용할 수 있습니다(렌즈 성능 곡선). DOF의 곡선 그래프는 f/# 설정과 관련된 이론적 한계뿐 아니라 렌즈 디자인의 광학 수차 영향까지 고려해서 설계됩니다.

이미지 상에서의 고정 주파수가 20$ \small{\tfrac{\text{lp}}{\text{mm}}} $(이미지 디테일)일 때, WD(작동 거리) 범위(y축)에 걸쳐 볼 수 있는 콘트라스트 값(x축)이 그림 1에 나와 있습니다. 여기서는 f/2.8로 설정된 그림 1a와 f/4로 설정된 그림 1b 간의 DOF 차이를 유심히 봐야 합니다. 또한, 배율 감소로 인해 최상의 초점과 렌즈 사이보다는 최상의 초점을 지나서 있는 DOF가 더 유용하다는 점을 유의할 필요가 있습니다. 곡선 그래프에는 색이 다른 여러 개의 선이 나와 있으며, 선의 색이 다를 경우 센서의 위치가 다르다는 것을 의미합니다. 이러한 유형의 비대칭 DOF 곡선은 고정 초점 거리 렌즈에서 흔히 나타납니다.

f/2.8인 렌즈(<em>a</em>)와 f/4인 렌즈(<em>b</em>)의 DOF 곡선

그림 1: f/2.8인 렌즈(a)와 f/4인 렌즈(b)의 DOF 곡선

그림 2에서는 그림 1a와 동일한 렌즈를 사용하지만, 작동 거리가 서로 다릅니다. 작동 거리가 길수록 DOF가 증가한다는 점을 주의해야 합니다. 최종적으로 렌즈가 무한대의 거리에 있는 피사체에 초점을 맞추면 과초점 현상(hyperfocal condition)이 발생합니다. 이 현상은 모든 것이 동일한 초점으로 보이는 거리에서 일어납니다.

f/2.8에 WD가 200mm인 렌즈(<em>a</em>)와 WD가 500mm인 렌즈(<em>b</em>)의 DOF 곡선. (<em>a</em>)의 그래프 크기가 훨씬 큼

그림 2: f/2.8에 WD가 200mm인 렌즈(a)와 WD가 500mm인 렌즈(b)의 DOF 곡선. (a)의 그래프 크기가 훨씬 큼

f/#가 DOF에 미치는 영향

그림 3처럼 렌즈의 f/#를 변경하면 DOF가 바뀝니다. 그림 3의 각 구성은 두 개의 광선속(bundle of ray)을 예로 들어 보여줍니다. 점선으로 표시된 광선속은 렌즈의 초점이 얼마나 잘 맞는지를 나타냅니다. 피사체가 최고의 초점 위치(점선이 교차하는 지점)에서 벗어날 때 피사체의 디테일은 원뿔의 더 넓은 내부로 이동합니다. 원뿔이 넓어질수록 이미지 주변의 블러가 증가하게 됩니다. 렌즈의 f/#는 주어진 거리에서 원뿔이 얼마나 빠르게 확장하고 정보와 디테일이 얼마나 많이 흐려지는지를 제어합니다. 그림 3a는 DOF가 낮은 렌즈를 보여주고 그림 3b는 DOF가 큰 렌즈를 보여줍니다.

그림 3: f/#가 큰 렌즈와 작은 렌즈의 DOF를 그림으로 설명한 모습

그림 3의 적색 원뿔은 시스템의 해상도를 각도로 표현한 것입니다. DOF의 총 범위는 적색 원뿔의 실선과 검은색 원뿔의 점선이 서로 교차하는 곳에서 정의됩니다. f/#가 낮을수록 검은색 점선은 빠르게 확장하고 DOF는 낮아집니다.

디테일이 작아질수록(적색의 작은 원뿔로 표시), 그림 3a와 그림 3b의 광선속은 더 가깝게 움직입니다. 렌즈의 한계 해상도는 f/#에 반비례하기 때문에 f/#를 너무 많이 증가시키면 렌즈의 회절 한계에 도달하기 때문에 미세한 디테일이 흐려질 수 있습니다. 이같은 한계는 f/#가 증가하면 DOF가 증가하면서 최소 해상 피처 크기(최상의 초점에서도) 또한 증가함을 의미합니다. 회절 한계의 정의 및 f/#와의 관계는 Airy Disk와 Diffraction Limit(회절 한계) 편에서 자세히 다룹니다. 단파장을 사용하면 일부 해상도를 구하는 데 도움이 됩니다. 파장이 시스템 성능에 미치는 영향은 MTF 곡선과 렌즈 성능 편에서 자세히 확인할 수 있습니다. 단, 그림 3에는 회절 한계로 인한 영향이 나와 있지 않으나 유의할 필요가 있습니다.

일반적으로 렌즈의 초점이 짧은 WD에 맞추어져 있으면 넓은 원뿔 각도로 인해 원뿔이 최상의 초점쪽으로 매우 빨리 발산해 DOF에 제한이 따릅니다. 긴 WD에서 피사체의 초점이 맞추어진 경우 광선속의 전환 속도가 감소하고 DOF는 증가하게 됩니다.

예: 피사체의 레벨에서 f/#가 미치는 밀접한 영향

그림 4a는 f/2.8(a)와 f/8(b)를 이용해 검사 중인 피사체 중심에서의 광선속을 설명합니다. 수직선은 최상의 초점에서 2mm 간격으로 표시되고, 각각의 수직선 상에 있는 정사각형은 단일 픽셀 디테일의 개별 피처 크기를 나타냅니다. 그림 4a는 광선속의 폭이 넓어질수록 더 많은 광선에서 디테일의 손실이 일어남을 보여줍니다. 그림 4b에서는 광선속이 더 느리게 확장하고 주어진 깊이에서 광선속의 직경보다 큰 디테일에 모든 광선이 도달함을 알 수 있습니다.

그림 4: f/2.8(a)과 f/8(b)로 검사 중인 피사체의 중심부에서 광선속 설명

그림 5는 그림 4와 동일한 개념을 가지고 있지만 원뿔은 FOV의 여러 지점을 나타냅니다. 각 디테일과 이어지는 공백은 1개의 line pair를 나타냅니다. 그림 5a에 있는 광선속의 중첩은 정보가 어떠한 방식으로 그림 4b에서보다 빠르게 섞일 수 있는지, 그리고 f/#가 낮을 경우 두 피사체의 디테일이 어떻게 흐려질 수 있는지를 보여줍니다. 그림 5b에서는 렌즈의 f/#가 높기 때문에 이러한 현상이 발생하지 않습니다.

그림 5: f/2.8(a)과 f/8(b)의 FOV 중심부에 걸친 광선속 설명

초점 심도(Depth of Focus) - 고급

초점 심도는 이미지 공간에서 DOF를 보완한 것이며 피사체가 동일한 위치에 머무르는 상태에서 센서가 이동할 때 초점의 품질이 렌즈의 센서쪽에서 어떻게 바뀌는지와 관련이 있습니다. 초점 심도는 렌즈의 이미지 면과 센서 면 사이에서 어느 정도의 팁/틸트가 허용되는지를 규정합니다. f/#가 낮을수록 초점 심도 또한 감소하기 때문에 센서 전체에서 최상의 초점을 달성하는 데 틸트가 미치는 영향력이 더욱 커집니다. 능동 정렬 없이 사용 중인 센서와 렌즈 사이의 직교도(orthogonality)에는 어느 정도 변화가 항상 존재합니다. 그림 6은 이와 관련된 문제가 어떻게 생겨나는지를 보여줍니다. 일반적으로 초점 심도와 관련된 문제는 일단 대형 센서에서만 발생한다고 가정합니다.

다만 센서의 크기는 이 문제와 상관이 없습니다. 방정식 3의 유도 과정이 보여주듯이, 초점 심도($\delta $)는 픽셀 수($ p $)에 따라 크게 좌우되고, 배열이나 픽셀 크기($ s $)와는 거의 관련이 없음을 확인할 수 있습니다. 센서의 픽셀 수가 증가하면 이러한 문제가 더 크게 발생합니다. 특히 다수의 라인 스캔 용도에서 배열이 넓고 f/#가 낮다는 것은 피사체, 렌즈, 센서 사이에서 더 세심한 정렬이 필요함을 강조합니다.

(1)$$ \delta = 2 \times \left( f / \# \right)_w \times s $$

(1)

$$ \delta = 2 \times \left( f / \# \right)_w \times s $$

(2)$$ z =\frac{1}{2} \left( s \times p \times \tan{\alpha} \right) $$

(2)

$$ z =\frac{1}{2} \left( s \times p \times \tan{\alpha} \right) $$

(3)\begin{align}
\frac{\delta}{2} & > z \\
\left( f / \# \right)_w & > \frac{1}{2} \left( p \times \tan{\alpha} \right)
\end{align}

(3)

\begin{align}
\frac{\delta}{2} & > z \\
\left( f / \# \right)_w & > \frac{1}{2} \left( p \times \tan{\alpha} \right)
\end{align}

광축에 대한 센서의 틸트가 픽셀 단위(<em>a</em>)와 센서 단위(<em>b</em>)에서 초점 심도에 영향을 미치는 방식을 설명

그림 6: 광축에 대한 센서의 틸트가 픽셀 단위(a)와 센서 단위(b)에서 초점 심도에 영향을 미치는 방식을 설명

센서 틸트의 영향

그림 7은 470nm 파장의 조명을 이용하는 35mm 렌즈를 보여줍니다. 그림 7a는 f/2.8로 설정되어 있고 그림e 7b는 f/5.6으로 설정되어 있습니다. 양쪽 그래프는 150$ \small{\tfrac{\text{lp}}{\text{mm}}} $까지 이어지며 이는 3.45µm 픽셀을 이용하는 센서의 Nyquist 주파수 한계에 가깝습니다. 그림 7a의 성능이 그림 7b보다 훨씬 우수하다는 것을 쉽게 파악할 수 있으며 이 렌즈를 f/2.8로 설정해서 사용하면 주어진 피사체 면에서 최고 수준의 이미징 품질을 얻을 수 있습니다. 하지만 이전 단원에서 언급한 바와 같이 센서와 관련된 틸트는 시스템이 구현하는 실제 이미지 품질에 부정적인 영향을 미치며 픽셀 수가 많아질수록 부정적인 영향 또한 증가합니다.

그림 7: f/2.8(a) 및 f/5.6(b)에서 35mm 렌즈의 MTF 성능. 단, 두 설계 모두 회절 한계 근처에서 수행된 결과를 나타냄

그림 8은 그림 7에 있는 두 경우의 초점 심도를 분석해서 보여줍니다. 두 경우 모두 가장 오른쪽의 수직선은 전체 이미지에 대한 최상의 초점에 위치합니다. 최상의 초점 왼쪽에 있는 각각의 반직선은 렌즈 후면에 12.5μµm 더 가깝게 위치합니다. 이러한 선은 센서의 중심에서부터 모서리까지 팁/틸트가 각각 12.5µm, 25µm라고 가정하고 픽셀의 위치를 시뮬레이션합니다. 파랑 광선속은 이미지 중심을 가리키고 노랑 및 빨강 광선속은 이미지의 모서리를 가리킵니다. 노랑 및 빨강 광선속은 픽셀이 3.45µm라고 가정할 때 센서 상에서 1개의 line pair circle을 나타냅니다. 그림 8a에서 f/2.8의 경우 12.5µm 틸트 위치로 이동할 때 노랑 및 빨강 광선속 사이에서 두 색이 이미 과도하게 겹쳐진 것을 확인할 수 있습니다. 25µm까지 이동하면 빨강 광선속은 노랑 광선속이 차지하는 것의 대략 절반인 2개의 전체 픽셀을 덮게 됩니다. 이는 결과적으로 블러를 발생시킵니다. 그림 8b에서 f/5.6의 경우 노랑 및 빨강 광선속은 전체 25µm 틸트 범위 내에서 1개의 픽셀 내에 머무르게 됩니다. 팁/틸트가 픽셀의 중앙에 위치해도 파랑 픽셀의 위치는 변하지 않습니다.

그림 8: 각각 f/2.8(a) 및 f/5.6(b)인 동일한 35mm 초점 거리 렌즈의 이미지 공간 내 광선속. 파랑 광선속은 이미지 중심에 모이고 노랑 및 빨강 광선속은 이미지 모서리에 모임

그림 9는 그림 8에서 보는 바와 같이 틸트가 25µm라고 가정한 35mm 렌즈의 이미지 모서리에서 MTF 성능 변화를 보여줍니다. 그림 9a는 f/2.8에서 렌즈의 새로운 성능을 보여줍니다. 단, 그림 9a에서는 성능 저하가 있음을 주의해야 합니다. 그림 9b는 그림 9a에 비해 f/5.6에서의 성능 변화가 경미하다는 것을 보여줍니다. 가장 눈여겨봐야 할 부분은 f/5.6로 설정한 렌즈가 f/2.8로 설정한 렌즈보다 뛰어난 성능을 보인다는 점입니다. f/5.6에서 작동하는 시스템의 단점은 f/2.8에서 작동하는 시스템에 비해 상대적으로 광량이 4배 가량 줄기 때문에 고속 및 라인 스캔 용도에서 문제가 될 수 있습니다. 마지막으로 센서가 중심부에서 기울어지면 광선속이 최적의 초점을 지나서 확장함에 따라 센서의 상하단(그리고 FOV의 해당 지점)에서 성능 저하가 발생합니다. 렌즈와 카메라의 조합이 정확히 같은 경우는 없습니다. 이같은 사실은 다중 시스템을 구축할 때 다양한 문제로 대두될 수 있습니다.

그림 9: f/2.8(a) 및 f/5.6(b)에서 35mm 렌즈의 MTF 성능으로 이미지 면의 틸트로 인해 z축에서 25μm 이동 발생

따라서 이러한 문제를 해결하기 위해서는 더 엄격한 공차가 적용된 카메라와 렌즈를 사용해야 합니다. 센서에 사용되는 일부 렌즈는 기계적으로 팁/틸트를 조절해가며 문제가 되는 요인을 극복하기도 합니다. 하지만 일부 라인 스캔 센서에는 패인 곳이 있을 수 있어(완벽하게 평평하지는 않음), 팁/틸트 제어만으로는 이같은 문제를 줄이거나 제거하기 어려울 수 있습니다.