Depth of Field 및 Depth of Focus

이름 및 특성의 유사성으로 인해 Depth of Field와 Depth of Focus는 자주 혼동되는 개념입니다. 우리의 목적에 맞게 개념을 정리하자면 depth of field는 피사체가 움직일 때 고정된 렌즈의 이미지 품질과 관련된 것인 반면 depth of focus는 피사체가 고정된 상태에서 틸트와 같이 센서 위치가 바뀔 때 센서가 초점을 유지할 수 있는 능력과 관련됩니다.

Depth of Field

렌즈의 Depth of Field (DOF)는 피사체의 위치가 best focus로부터 가까워지거나 멀어질 때 refocusing 없이 원하는 이미지 품질을 유지하는 능력입니다(지정된 contrast에서의 spatial frequency). DOF는 또한 형태가 복잡하거나 다양한 높이를 갖고 있는 피사체에 적용됩니다. 렌즈의 설정된 초점 거리보다 가깝거나 멀리 배치되면 피사체가 흐려지고 resolution과 contrast가 모두 저하됩니다. 때문에 DOF는 관련 resolution 및 contrast와 함께 정의될 때만 의미가 있습니다. 이미징 시스템의 DOF를 측정 및 비교분석하기 위해 직접 사용할 수 있는 타겟이 몇 가지 있습니다. 이들 타겟에 대해서는 Choosing the Correct Test Target에서 설명합니다.

DOF 평가를 위해서는 Resolution이 필요함

“이 렌즈는 우수한 Depth of Field를 갖고 있나요?”아주 흔한 질문이지만 피사체의 구체적인 디테일 크기나 image space frequency 없이는 답하기 어렵습니다. 디테일이 작아질수록 구분해야 할 spatial frequency가 높아지고 렌즈가 구현할 수 있는 DOF가 작아집니다. DOF 곡선을 이용해 특정 디테일 크기와 주어진 심도에서 렌즈의 실제 성능이 어느 정도 되는지 알아볼 수 있습니다(Lens Performance Curves). 이 그래프는 f/# 설정과 관련된 이론적 한계뿐 아니라 렌즈 디자인 자체의 aberration 효과도 고려합니다.

그림 1에는 20 lp/mm(이미지 디테일)의 고정 주파수에서 working distance 범위(x축)에 걸쳐 볼 수 있는 contrast 레벨(y축)이 표시되어 있습니다. f/2.8로 설정된 1a와 f/4로 설정된 그림 1b 사이에서의 DOF 차이를 주목하십시오. 그 밖에 주목해야 할 또 한 가지는 배율 감소로 인해 best focus와 렌즈 사이보다 best focus를 넘어서는 더욱 적합한 DOF가 있다는 점입니다. 그래프 자체에는 이미지가 센서에 표시될 다양한 위치를 나타내는 서로 다른 색상의 선들이 포함됩니다.

그림 1: f/2.8인 렌즈(a)와 f/4인 렌즈(b)의 Depth of Field 곡선

그림 2에서는 그림 1a와 동일한 렌즈를 사용하지만, working distance가 서로 다릅니다. DOF 증가는 working distance가 더 길 경우 발생한다는 점을 유념하십시오. 최종적으로 렌즈가 무한대의 거리에 있는 피사체에 초점을 맞추면 hyperfocal condition(과초점 현상)이 발생합니다. 이 조건은 모든 것들이 동일한 초점에 나타나는 거리에서 이루어집니다.

그림 2: f/2.8에 200mm WD인 렌즈(a)와 500mm WD인 렌즈(b)의 Depth of Field 곡선. (b)의 그래프 크기가 훨씬 크다는 점을 주목하십시오.

f/#가 Depth of Field에 미치는 영향, 개념

그림 3에서와같이 렌즈의 f/#를 변경하면 DOF가 바뀝니다. 그림 3의 각 구성에는 두 개씩의 광선속(bundle of ray)이 있습니다. 검은색 점선으로 표현된 광선은 정보가 피사체에서 렌즈 시스템 쪽으로 이동할 때 어떻게 분산되는지 보여 줍니다. 피사체가 best focus 위치(점선이 교차하는 곳)에서 멀어지면 피사체 디테일이 원뿔의 보다 넓은 영역으로 이동합니다. 원뿔이 더 넓게 퍼질수록 렌즈로부터 해당 거리에 있는 정보가 주변의 다른 정보에 더욱 번지게 됩니다. 렌즈의 f/#는 원뿔이 확장되는 속도를 제어하여 특정 위치에서 실제로 서로 번지게 되는 정보 또는 디테일의 양에 영향을 줍니다.

그림 3: f/#가 큰 렌즈와 작은 렌즈의 DOF를 기하학적으로 표현.

그림에는 적색 원뿔도 있는데 이것은 시스템의 resolution을 각도로 표현한 것입니다. 원뿔 두 개의 선이 교차하는 곳은 depth of field의 전체 범위를 규정합니다. f/#가 낮을수록 검은색 점선이 더 빠르게 확장되고 depth of field가 더 얕아집니다.

디테일이 작아질수록 그림 3a와 3b의 광선속들이 서로 접근해 효과가 가속화됩니다. 렌즈의 limiting resolution은 f/#에 반비례하기 때문에 f/#를 너무 높이면 결국 렌즈의 diffraction limit에 도달하게 돼 작은 디테일들이 번지게 됩니다. 이러한 제한은 f/#를 높이면 항상 depth of field는 증가하고 반면에 best focus에서조차 구분할 수 있는 특징적 크기는 더 커진다는 것을 의미합니다. Diffraction limit 및 f/#와의 관계에 대한 자세한 내용은 Diffraction Limit을 참조하십시오. 짧은 파장을 이용하면 이 영역에서 여유가 생기며 여러 가지 방식으로 이러한 resolution 손실을 다소나마 보정할 수 있습니다. 파장 변경을 통한 시스템 성능 개선에 대한 파장이 성능에 미치는 영향의 내용을 참조하십시오.

일반적으로 렌즈의 초점이 짧은 working distance에 맞추어져 있으면 넓은 원뿔 각도로 인해 원뿔이 best focus의 한쪽으로 매우 빨리 발산해 depth of field에 제한이 따릅니다. 긴 working distance에서 피사체의 초점이 맞추어진 경우 광선속의 전환 속도가 감소하고 DOF는 증가합니다.

예: 피사체 레벨에서의 f/# 효과, 클로즈업 뷰

그림 4은 f/2.8 (a)과 f/8 (b)을 이용해 검사 중인 피사체 중심에서의 광선속(bundle of ray)을 설명합니다. 세로 라인은 best focus로부터 멀어져 렌즈로 가까워지는 2mm의 증분을 나타냅니다. 각각의 세로 라인에는 디테일의 단일 픽셀을 나타내는 사각형이 있습니다. 그림 4a는 광선속의 폭이 특징적 크기를 초과하면 원하는 디테일 양이 빠르게 개별 광선속의 제한된 부분이 된다는 점을 설명합니다. 그림 4b에서 광선속은 훨씬 천천히 넓어지며 디테일은 표시된 모든 거리에 대해 광선속 지름보다 넓어 유력한 신호 기여자가 될 수 있게 됨으로써 구분이 쉬워집니다.

그림 4: f/2.8(a)과 f/8(b)로 검사 중인 피사체의 중심부에서 광선속(ray bundle) 설명.

그림 5는 그림 4과 동일한 종류의 그림을 보여 주지만 field of view에 여러 개의 지점을 나타내는 원뿔이 있고 기본적으로 이는 line pair를 나타내는 on 및 off 정보입니다. 그림 5a에서 광선속의 중첩부는 정보가 어떻게 그림 5b의 정보보다 더 빨리 전달되는지 보여 줍니다. 이것은 보다 낮은 f/#로 인해 어떻게 두 개의 서로 다른 피사체 디테일의 정보가 흐릿해지는지에 대한 예입니다. 그림 5b에서 이러한 현상은 렌즈의 높은 f/#로 인해 발생하지 않습니다.

그림 5: f/2.8(a)과 f/8(b)의 field of view 중심부에 걸친 광선속(ray bundle) 설명.

Depth of Focus 

Depth of focus는 depth of field의 image-space 보완 요소이며 피사체는 같은 위치에 있는 상태로 센서가 이동할 때 렌즈의 센서쪽에서 focus 품질이 어떻게 바뀌는지와 관련이 있습니다. Depth of focus는 렌즈의 image plane과 sensor plane 자체 사이에서 얼마나 많은 tip과 tilt를 허용할 수 있는지 알려줍니다. f/#가 낮을수록 depth of focus가 더 많이 저하되며 센서 전체적으로 best focus를 달성하는 데 tilt가 갖는 영향이 더 커집니다.

적극적인 조정 없이는 사용하는 센서와 렌즈 사이의 직교성에 항상 약간의 변화가 있을 것임을 이해해야 합니다. 그림 6은 이 문제가 어떻게 발생하는지 보여 줍니다. 대개 Depth of focus와 관련된 문제들은 대형 센서를 사용할 때만 일어난다고 생각합니다. 하지만 이 문제는 사실 센서 크기하고는 상관이 없습니다. 그림 6의 파생으로서 depth of focus는 픽셀 개수에 크게 좌우되며 픽셀 크기나 배열과는 거의 관계가 없습니다. 센서의 픽셀 개수가 증가하면 이 문제는 증폭만 됩니다. 특히, 많은 라인 스캔 용도에서 넓은 어레이와 낮은 f/#는 피사체, 렌즈 및 센서 사이에 신중한 정렬이 필요함을 강조합니다.

그림 6: 광축과 관련해 센서의 tilting이 어떻게 depth of focus에 영향을 미치는지 설명.

센서 tilting의 효과 

그림 7에서는 470nm 파장의 조명을 이용하는 35mm 렌즈를 보여 줍니다. 그림 7a는 f/2.8로 설정되고 그림 7b는 f/5.6으로 설정되어 있습니다. 양쪽 그래프는 150 lp/mm까지 이어지며 이는 3.45µm 픽셀을 이용하는 센서의 Nyquist limit에 해당됩니다. 그림 7a의 성능이 그림 7b보다 훨씬 우수하다는 것을 파악하는 것은 간단한 일이며, 이 렌즈를 f/2.8의 설정에서 사용하면 주어진 object plane에서 최고 수준의 이미징 품질을 얻을 수 있습니다. 하지만, 이전 단원에서 언급한 바와 같이 센서와 관련된 tilt는 시스템이 구현하는 실제 이미지 품질에 부정적인 영향을 주며 픽셀 개수가 많을수록 효과도 커집니다.

그림 7: f/2.8(a) 및 f/5.6(b)에서 35mm 렌즈의 MTF 성능. 각각의 경우 diffraction limited resolution이 거의 확보됩니다.

그림 8에서는 그림 7에서 다룬 35mm 렌즈의 f/2.8 및 f/5.6을 위한 depth of focus를 분석합니다. 양쪽 그림에서 맨 오른쪽 세로 선은 전체 이미지를 위한 best focus를 나타냅니다. Best focus의 왼쪽에 있는 반 수직 라인은 렌즈 뒤쪽에 12.5μm 더 가까운 위치를 나타냅니다. 이것들은 각각 센서의 중앙에서 모서리까지 12.5μm 및 25μm의 tip/tilt를 전제로 해 픽셀 위치를 시뮬레이션합니다. 청색 광선속(ray bundle)은 이미지의 중앙에 해당되는 것이며 노란색과 적색 광선속은 이미지 모서리에 대한 것입니다. 노란색과 적색 광선속은 3.45μm 픽셀을 전제로 센서에서의 line pair cycle 한 개를 나타냅니다. 그림 8a, f/2.8에서 12.5μm tilt 위치로의 변위에서 노란색과 적색 광선속 간에 이미 번지는 현상이 나타나고 있음을 주목하십시오. 25μm로 옮기면 이제 적색 광선속이 두 개의 풀 픽셀과 노란색 광속 절반 정도까지 커버해 상당한 blurring 효과를 유발합니다. 그림 8b, f/5.6에서는 노란색과 적색 광선속이 전체 25μm tilt 범위에서 1픽셀 안에 머무르게 됩니다. Tip/tilt가 이 픽셀의 중심에 들어가므로 청색 픽셀의 위치가 변화하지 않는다는 사실에 주목하십시오.

그림 8: 각각 f/2.8(a) 및 f/5.6(b)인 동일한 35mm focal length 렌즈의 Image space 광선속(ray bundle). 청색 광선속은 이미지 중앙에 모이고 적색 및 노란색 광선속은 이미지 모서리에 모입니다.

그림 9은 그림 8에서와같이 25μm tilt를 가정하고 이 35mm 렌즈를 사용할 때 이미지 모서리에서의 MTF 성능 변화를 설명합니다. 그림 9a는 f/2.8에서 렌즈의 새로운 성능을 보여 줍니다. 그림 7a에서의 심각한 성능 저하를 주목하십시오. 그림 9b는 7b와 비교하면 f/5.6에서 약간의 성능 변화를 보여줍니다. 무엇보다 중요한 것은 f/5.6에서 이 렌즈는 f/2.8로 설정한 경우보다 이제 훨씬 뛰어난 성능을 보일 것입니다. f/5.6에서 실행 중인 시스템의 결함은 빛의 양이 세 배나 적다는 것입니다. 이로 인해 고속 및 line scan 용도에서 문제가 될 수 있습니다. 마지막으로, 센서가 센서의 중심에서 기울어져 있다고 가정할 때 광선속이 best focus 이후 확장되기 때문에 tilt로 인해 센서의 맨 위와 아래에서 성능 저하가 일어날 것입니다(field of view에서 해당되는 지점). 두 개의 카메라와 렌즈 조합이 정확히 일치하는 경우는 없습니다. 여러 대의 시스템을 구축할 때 이 문제는 다양한 수준으로 나타날 수 있습니다.

그림 9: Image plane tilt에 의해 25μm의 z-axis shift가 발생한 f/2.8(a) 및 f/5.6(b)에서 35mm 렌즈의 MTF 성능.

문제를 극복하려면 보다 높은 허용 오차의 컨트롤 능력을 가진 카메라와 렌즈를 사용해야 합니다. 아울러, 센서의 경우 일부 렌즈는 이러한 효과를 능동적으로 극복하기 위한 tip/tilt 메커니즘을 갖고 있습니다. 또한 일부 line scan 센서는 오목한 부분이 있을 수 있는데 이는 해당 센서가 완전하게 평평하지 않음을 의미합니다. tip/tilt 컨트롤을 통해 이를 약화시키거나 제거할 수는 없습니다.