Shortpass와 Longpass Filter를 이용한 Custom Bandpass Filter의 제작

Bandpass filter는 광학 필터의 한 종류로서 특정 파장 범위나 대역에서 빛을 투과하도록 하고, 그 외의 파장대는 차단하는 역할을 합니다. 다수의 기성 bandpass filer 옵션을 이용할 수 있으나, 밴드폭이나 중심 파장을 쉽게 이용할 수 없는 특정 요건을 가지고 있는 어플이케이션의 경우에는, Longpass와 Shortpass filter를 서로 겹친 뒤 맞춤형(custom) bandpass filter를 제작 수 있습니다. Longpass filter는 단파장은 반사시키고 반면에 장파장은 투과 혹은 통과시키는 광학 필터입니다. 이와 반대로, Shortpass는 단파장은 투과시키고, 장파장은 반사시킵니다. 이 두 가지 필터에 관한 예는 그림 1에 소개되어 있습니다.

그림 1: Shortpass와 Longpass Filter의 투과율 비교

위의 투과율 그래프는 헤비사이드 함수(Heaviside function, H(λ)로 표기)와 수학적으로 유사성을 갖습니다. 공식 1에서의 헤비사이드 함수는 정의역(certain domain)에서 하나의 함수 값을 갖고 나머지 영역에서는 제로 값을 갖도록 특수하게 구분해주는 함수를 의미합니다. 정의역은 상수 x로 구할 수 있습니다.

(1)$$ H \! \left( \lambda - x \right) = \begin{cases} 0, & \lambda < x \\ 1, & \lambda \geq x \end{cases} $$

H(λ)는 파장의 λ와 필터의 투과율로 표기할 수 있습니다. 그림 2에서는 그림 1의 LWP 그래프를 헤비사이드 방식으로 보여줍니다.

Heaviside model of the Longpass curve from Figure 1

그림 2: 그림 1에 나온 Longpass curve의 헤비사이드 모델

Custom optical bandpass filter 생성에는 최소 2개 이상의 필터를 이용해야 합니다. 이는 개념적으로 수학상의 헤비사이드 함수를 여러 배로 늘린 것과 비슷합니다. 540 - 545에서 구형 함수(rectangular function)를 구하기 위해서는 솔루션 1과 그림 3에서와 같이 2개의 헤비사이드 함수를 같이 증가시켜야 합니다.

(2)$$ \text{Let:} \, H_1 = H \! \left( \lambda - 450 \right) = \begin{cases} 0, & \lambda < 450 \\ 1, & \lambda \geq 450 \end{cases} $$

$$ H_2 = H \! \left( -\lambda + 500 \right) = \begin{cases} 0, & \lambda > 500 \\ 1, & \lambda \leq 500 \end{cases} $$

$$ H_1 \times H_2 = \text{BP}_{1, 2} \! \left( \lambda \right) = \begin{cases} 0, && \lambda < 450 \\ 1, & 450 \leq \! & \lambda \geq 500 \\ 0, && \lambda > 500 \end{cases} $$

그림 3: BP_1,2에 구형 함수를 적용한 그래프

수학적 증가를 통해 얻게 된 것은 2개 이상의 필터를 겹치면서 물리적으로 구해진 것입니다. 여러 개의 광학 필터를 겹치게 될 경우, 하나의 필터로 빛이 전파되면서 다른 필터로 빛이 퍼져나가게 됩니다. 필터마다 특정 파장만 투과 하기 때문에, 필터 적층을 통해 파장 범위를 원하는 대로 설정(customize)하여 투과를 조절할 수 있습니다.

A custom bandpass filter where F1 and F2 represent Longpass and Shortpass filters

그림 4: Longpass와 Shortpass filter를 f₁과 f₂로 표현한 Custom bandpass filter

그림 5는 적층으로 인한 결과를 투과 곡선으로 보여줍니다.

Transmission Curves of a Custom Bandpass Filter

그림 5: 450nm Longpass와 500nm Shortpass Filter를 적층 후 생성된 custom bandpass filter의 투과 곡선

Longpass와 Shortpass filter를 서로 적층하는 것은 특정 밴드패스를 선택할 수 있는 신속한 맞춤 솔루션으로서 기성 bandpass filer로는 어플리케이션의 요구를 충족할 수 없거나 고객의 필터 디자인이 지나치게 고가이고 납품 기한이 너무 긴 용도에 적절한 대안법입니다.