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Focal Length 및 Field of View 이해하기
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Focal Length 및 Field of View 이해하기

이 페이지는 Imaging Resource Guide단원 1.3입니다.

Fixed Focal Length Lenses

Conventional 또는 entocentric lens로도 알려져 있는 Fixed Focal Length Lens는 고정식 Angular Field of View (AFOV)입니다. 렌즈의 초점을 서로 다른 working distance에 맞춤으로써 관찰 각도를 일정하게 유지하면서도 서로 다른 크기의 Fields of View (FOV)를 확보할 수 있습니다. AFOV는 일반적으로 렌즈와 함께 사용될 센서의 가로 규격(너비)과 관련된 전체 각도(도 단위)로 지정됩니다.

참고: Fixed Focal Length Lens를 Fixed Focus Lens와 혼동해선 안됩니다. Fixed Focal Length Lens는 다양한 거리에 초점을 맞출 수 있습니다. Fixed Focus Lens는 특정 단일 working distance에 사용하기 위한 것입니다. Fixed Focus Lens의 예로는 Telecentric Lens 및 Microscope Objective를 들 수 있습니다.

렌즈의 focal length에 따라 렌즈의 angular field of view가 결정됩니다. 센서 크기가 정해져 있다면 focal length가 짧을수록 렌즈의 angular field of view가 넓어집니다. 아울러 렌즈의 focal length가 짧아질수록 focal length가 더 긴 렌즈에 비해 동일한 FOV를 확보하는 데 필요한 거리가 짧아집니다. 단순하고 얇은 convex lens의 경우 focal length는 렌즈 뒷면부터 렌즈 전면에서 무한대의 거리에 있는 피사체에 대해 형성된 이미지 평면까지의 거리입니다. 이 개념에서 렌즈의 angular field of view를 focal length가 포함된 식으로 표현할 수 있습니다(공식 1). 여기에서 f는 밀리미터 단위의 focal length이고 h는 밀리미터 단위로 표현한 센서의 가로 규격입니다(그림 1).

(1)$$ \text{AFOV} \left[ ° \right] = 2 \times \tan ^{-1} { \left( \frac{h}{2f} \right)} $$

For a given Sensor Size, h, Shorter Focal Lengths produce Wider AFOV’s
그림 1: 센서 크기 h가 정해져 있다면 focal length가 짧을수록 AFOV는 넓어짐.

하지만 일반적으로 focal length는 렌즈의 뒤쪽 principal plane에서부터 측정하는데 이 평면이 이미징 렌즈의 기계 장치 뒷면에 있는 경우는 거의 없습니다. 이것은 paraxial equation을 이용해 계산한 working distance가 근사치에 지나지 않기 때문에 이는 시스템의 기계 설계를 할 때 컴퓨터 시뮬레이션을 통해 산출된 데이터나 렌즈 사양 표에서 확인된 데이터를 이용해야만 하는 이유 중 하나입니다. Paraxial calculation은 lens calculator에서와 마찬가지로 신속한 렌즈 선택을 위한 좋은 출발점이지만 계산된 수치는 신중하게 이용해야 합니다.

Fixed Focal Length Lens를 사용할 때 시스템(카메라 및 렌즈)의 field of view를 변경할 방법은 세 가지가 있습니다. 가장 쉬운 첫 번째 옵션은 렌즈부터 피사체까지의 working distance를 변경하는 것입니다. Object plane으로부터 렌즈를 멀리 이동시키면 field of view가 넓어집니다. 두 번째 옵션은 사용 중인 렌즈를 focal length가 다른 것으로 교체하는 것입니다. 세 번째 옵션은 사용 중인 센서의 크기를 변경하는 것입니다. 공식 1에 정의되어 있는 바와 같이 센서가 클수록 동일한 working distance에서 더 넓은 field of view를 얻게 됩니다.

종종 아주 넓은 angular field of view를 갖는 것이 편리하긴 하지만 일부 단점도 감안해야 합니다. 우선, 일부 짧은 focal length 렌즈와 관련된 왜곡 수준은 실제 AFOV에 엄청난 영향을 줄 수 있으며 다양한 규모의 왜곡으로 인해 Working Distance (WD)에 대한 각도의 차이를 유발할 수 있습니다. 다음으로, focal length가 짧은 렌즈는 일반적으로 더 긴 focal length 옵션과 비교하면 최상의 성능을 확보하는 데 더 많은 어려움이 따릅니다 (베스트 예제 #3 참조). 아울러, 짧은 focal length의 렌즈는 중간부터 대형까지의 센서 크기를 커버하는 데 어려움이 있어 센서의 상대 조도, Roll Off 및 Vignetting에서 논의한 바와 같이 사용 편의성에 제약이 따를 수 있습니다.

시스템의 field of view를 변경할 수 있는 또 다른 방법은 Vari-Focal Lens 또는 Zoom Lens를 이용하는 것입니다. 이런 유형의 렌즈는 해당 focal length를 조절할 수 있어 다양한 angular fields of view를 갖게 됩니다. Vari-Focal 및 Zoom Lens는 Fixed Focal Length Lens에 비해 크기와 비용 면에서 단점이 있는 경우가 많고, Fixed Focal Length Lens와 같은 수준의 성능을 제공할 수 없는 경우가 빈번합니다.

WD와 FOV를 이용한 Focal Length 계산

많은 용도에서 피사체와 바람직한 field of view 사이에 필요한 거리(일반적으로 추가 완충 공간을 포함한 피사체의 크기)는 기지수(kown quantity)입니다. 이 정보는 공식 2에 표시된 방식을 통해 필요한 angular field of view를 직접적으로 결정하는 데 사용할 수 있습니다. 이때 WD는 렌즈로부터의 Working Distance이며 AFOV는 Angular Field of View입니다. 공식 2은 그림 2에서와같이 높이가 working distance와 같고 밑변은 horizontal field of view와 같은 삼각형의 꼭지점 각도를 구하는 것과 같습니다. 참고: 사실, 이 삼각형의 꼭지점은 working distance를 측정하는 시작점인 렌즈의 앞쪽에 있는 경우는 드물며 entrance pupil 위치가 알려져 있는 경우가 아니면 근사치로만 사용해야 합니다.

(2)\begin{align} \text{AFOV} \left[ ° \right] & = 2 \times \tan ^{-1} \left( \frac{\text{Horiztontal FOV} \left[ \text{mm} \right] }{2 \, \times \, \text{WD} \left[ \text{mm} \right] } \right) \\ \\ \text{ or } \\ \\ \text{Horizontal FOV} \left[ \text{mm} \right] & = 2 \, \times \, \text{WD} \left[ \text{mm} \right] \times \tan \left( \frac{ \text{AFOV} \left[° \right] }{2} \right) \\ \end{align}
Relationship between HFOV, Sensor Size and WD for a given Angular FOV
그림 2: 특정 angular FOV에 대한 HFOV, 센서 크기 및 WD의 관계.

필요한 AFOV가 결정되면 공식 1를 이용해 focal length 근사값을 구할 수 있으며 사용 중인 센서에 필요한 angular field of view와 이용 가능한 가장 가까운 focal length를 찾아 렌즈 사양표 또는 데이터시트에서 적절한 렌즈를 선택할 수 있습니다.

예 1에서 계산된 14.25°는 필요한 렌즈를 결정하는 데 사용할 수 있지만, 센서 크기도 선택해야 합니다. 센서 크기가 증가하거나 감소되면 렌즈의 이미지를 얼마나 사용하는지가 변경됩니다. 이로 인해 시스템의 AFOV가 바뀌고 전체 FOV가 변경됩니다. 센서가 클수록 동일한 focal length에서 확보할 수 있는 AFOV가 커집니다. 예를 들어, 25mm 렌즈를 ½"(가로 6.4mm) 센서와 사용하거나 35mm 렌즈를 2/3”(가로 8.8mm) 센서와 사용하면 두 가지 모두 각각의 센서에서 14.5°의 angular FOV를 제공합니다.

아니면, 센서를 이미 선택했을 경우에는 공식 3에서와같이 공식 2에 공식 1를 대입해 FOV와 WD에서 직접 focal length를 계산할 수 있습니다.이때, h는 센서의 가로 길이(가로 방향 픽셀 개수에 픽셀 크기를 곱함)이며 f는 렌즈의 focal length입니다. 모두 밀리미터 단위이며 FOV와 WD는 동일한 단위 체계로 측정해야 합니다. 위의 예는 일차 근사에 지나지 않으며 왜곡을 감안하지 않기 때문에 앞에서 설명한 바와 같이 시스템 working distance의 유연성을 어느 정도 감안해야 합니다.

(3)$$ f = \left( \frac{h \, \times \, \text{WD} }{\text{Horizontal FOV}} \right) $$

고정 배율을 갖고 있는 렌즈를 이용한 FOV 계산

일반적으로 고정 배율을 갖고 있는 렌즈는 working distance 범위도 고정 또는 제한되어 있습니다. Telecentric 또는 기타 Fixed Magnification Lens 사용은 이들 렌즈가 working distance 변경을 통해 다양한 fields of view를 제공하하지 못하기 때문에 제약이 더 클 수 있지만 공식 4에서와같이 이들 렌즈에 대한 계산은 매우 간단합니다.

(4)$$ \text{Horizontal FOV} \left[ \text{mm} \right] = \frac{ \text{센서 가로 크기} \left[ \text{mm} \right] }{\text{PMAG}} $$

원하는 FOV 및 센서는 이미 알고 있는 경우가 많기 때문에 공식 4를 공식 5으로 변형하면 렌즈 선택 절차가 단순화될 수 있습니다.

(5)$$ {\text{PMAG}} = \frac{ \text{센서 가로 크기} \left[ \text{mm} \right] }{\text{Horizontal FOV} \left[ \text{mm} \right] } $$

필요한 배율을 이미 알고 있고 working distance는 제한되어 있다면 공식 3를 다시 정리해(h/FOV를 배율로 치환) 공식 6에서와같이 적절한 fixed focal length lens를 결정하는 데 사용할 수 있습니다.

(6)$$ {\text{PMAG}} = \frac{\text{FL}}{\text{WD}} $$

공식 6은 근사값이며 배율이 0.1을 초과하거나 working distance가 짧을 경우 정확도가 급격히 저하된다는 점을 기억하십시오. 배율이 0.1을 초과하면 Fixed Magnification Lens를 사용하거나 적절한 렌즈 모델을 이용한 컴퓨터 시뮬레이션(예: Zemax)을 이용해야 합니다. 같은 이유로, 인터넷에서 흔히 발견되는 lens calculator는 참고용으로만 사용해야 합니다. 의심스러우면 렌즈 사양표를 확인하십시오.

참고: Horizontal FOV는 대개 FOV에 대한 토론에 편의성 차원에서 사용되지만, 전체 피사체를 이미지에 맞추려면 센서 aspect ratio (센서의 높이에 대한 너비의 비율)를 고려해야 합니다(공식 7). 여기에서 aspect ratio는 분수로 사용됩니다(예: 4:3 = 4/3). 대부분의 센서는 비율이 4:3이지만 5:4와 1:1도 많이 사용됩니다. Aspect ratio의 이러한 차이로 인해 센서 포맷이 같더라도 다양한 센서 규격이 만들어질 수 있습니다. 본 단원에서 사용된 모든 공식은 센서의 세로 치수를 공식에서 지정된 가로 치수로 치환하기만 하면 vertical FOV에도 사용할 수 있습니다.

(7)$$ \text{Horizontal FOV} = \text{Vertical FOV} \, \times \, \text{Aspect Ratio} $$

LENS FOCAL LENGTH의 예

WD와 FOV를 이용한 Focal Length 계산

예 1: 원하는 working distance가 200mm이고 horizontal FOV가 50mm인 시스템에서 Angular Field of View (AFOV)는 몇 도입니까?

\begin{align} 2 \times \tan^{-1} \left( {\frac{50 \text{mm}}{2 \times 200 \text{mm}}} \right) & = \text{AFOV} \left[ ° \right] \\ \text{AFOV} & = 14.25° \end{align}

고정 배율을 갖고 있는 렌즈를 이용한 FOV 계산

예 2: 센서 가로 크기가 6.4mm인 ½"센서를 사용하는 경우 horizontal FOV는 25mm가 바람직합니다.

\begin{align} \text{PMAG} & = \frac{6.4 \text{mm}}{25 \text{mm}} \\ \text{PMAG} & = 0.256 \text{X} \\ \end{align}

Fixed Magnification 또는 Telecentric Lens 목록을 검토하면 적절한 배율을 선택할 수 있습니다. 참고: 배율이 높아지면 field of view 크기가 감소합니다. 전체 field of view를 볼 수 있도록 대개 계산된 것보다 낮은 배율을 사용하는 것이 바람직합니다. 예 2에서는 0.25X의 배율을 가진 렌즈가 가장 가까운 범용 옵션이며 같은 센서에서 25.6mm의 FOV를 제공합니다.

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