분산

광학 부품을 특히 레이저와 사용할 경우에는 광학 부품의 기판이 가지고 있는 특성에 더 많은 주의를 기울여야 합니다. 광학 부품용 기판에는 광학 글래스 및 수정 결정체와 같은 다양한 소재가 사용됩니다. 고객의 어플리케이션에 맞는 광학 부품을 선택하기 위해서는 제조 공정에서 발생할 수 있는 결함과 소재적 속성을 파악하고 있어야 합니다. 광학 기판의 주요 특성으로는 분산, 열흡수성, 균일성 등이 있으며, 기판 내부의 손상은 광학 부품에 사용되는 기판에 상당한 영향을 미칠 수 있습니다.

분산(dispersion)은 빛이 광주파수 및 파장과 같은 매개 변수 상에서 광학 매질을 투과할 때 위상 속도나 위상 지연에 의해 필연적으로 발생하는 속성입니다. 이러한 분산은 그림 1에서와 같이 색 분산, 모드간 분산, 편광 모드 분산 등의 다양한 유형으로 존재하며 레이저 광부품 표면의 내부에서 발생합니다.¹

그림 1: 파장에 따른 UV 등급 용융 실리카의 굴절률

굴절률(refractive index)은 진공 상태에서의 빛의 속도와 공기나 글래스 등의 매질을 통과하는 동안 광파의 위상 속도 간 비율을 의미합니다. 펄스 레이저 용도에서 빛은 주파수로 설명하며, 일반적으로 시간이 더 중요하고 빛의 주파수는 고정된 값으로 주어지는 데 반해 파장은 내부에서 이동할 때의 굴절률에 따라 달라지기 때문입니다. 파장$ \small{\left( \lambda \right)} $은 다음과 같이 각도 주파수$ \small{\left( \omega \right)} $, 굴절률$ \small{\left( n \right)} $, 빛의 속도$ \small{\left( c \right)} $와 관련이 있습니다.

(1)$$ \lambda = \frac{2 \pi \, c}{\omega \, n} $$

소재의 굴절률은 주로 셀마이어(Selmeier) 공식과 소재 상수 $\small{B_1}$, $\small{B_2}$, $\small{B_3}$, $\small{C_1}$, $\small{C_2}$, $\small{C_3}$를 이용해 설명할 수 있습니다.

(2)$$ n^2 \! \left( \lambda \right) - 1 = \frac{B_1 \, \lambda ^2}{\lambda ^2 - C_1 } + \frac{B_2 \lambda^2}{\lambda^2 - C_2} + \frac{B_3 \lambda^2}{\lambda ^2 -C_3} $$

색 분산(chromatic dispersion)은 빛의 파장에서 매질의 광 위상 속도 $\small{\nu _{p}}$에 의해 발생하며 대개 매질의 전자와 빛의 상호 작용으로부터 기인합니다. 색 분산은 $ \small{\lambda} $ $에 따른 굴절률의 첫 번째 편도함수 역수에 해당하는 아베수(그림 2)와 파장에 따른 굴절률의 두 번째 편도함수에 해당하는 부분 분산으로 설명됩니다.

그림 2: 일반 글래스 유형의 굴절률 대 각각의 아베수를 보여주는 아베 다이어그램 도표. 열팽창 계수(CTE: coefficient of thermal expansion)의 정의는 당사 어플리케이션 노트 광학 기판의 열적 속성 편에서 자세히 다룸.

아베수는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

(3)$$ V_D = \frac{n_D - 1}{n_F - n_C} $$

여기서 $\small{n_D} $, $\small{n_F} $, $\small{n_C} $는 Fraunhofer D- $\small{\left( 589.3 \text{nm} \right)}$, F- $\small{\left( 486.1\text{nm} \right)}$, C- $\small{\left( 656.3 \text{nm} \right)}$ 스펙트럼 라인 파장에서 기판의 굴절률을 가리킵니다. 또한 파장에 따른 굴절률의 도함수를 이용하면 어느 파장에서도 소재의 아베수를 기술할 수 있습니다.

(4)$$ V_{\lambda} = -\frac{1}{2} \left(n - 1 \right) \frac{\text{d} n}{\text{d} \lambda} $$

레이저 용도에서의 주된 관심사는 분산이 매질을 통과하는 레이저 펄스에 영향을 미치는 방식으로서 파수(wavenumber)에 따라 광 위상의 속도 변화를 가리키는 군속도 $ \small{ \left( \nu _g \right) } $ 로 설명할 수 있습니다.

(5)$$ \nu _g = \left( \frac{\partial k}{\partial \omega} \right)^{-1} = c \left[ \frac{\partial}{\partial \omega} \left( \omega n \! \left( \omega \right) \right) \right] ^{-1} = \frac{c}{n \! \left( \omega \right) + \omega \frac{\partial n}{\partial \omega}} = \frac{c}{n_g \! \left( \omega \right)} $$

파수$ \small{\left( k \right)} $는 $ \tfrac{2 \pi}{\lambda} $ 이며 이 개념은 간혹 spectral phase라고도 불립니다. 다중 파장의 빛이 소재를 통과할 때 군속도의 주파수(혹은 파장) 의존성에 의해 짧은 파장보다는 더 긴 파장이 다소 빠르게 이동하는 것이 일반적인 현상입니다². 이러한 속도차는 프리즘을 통과하는 빛이 소재의 스펙트럼 분산으로 인하여 각 요소의 색상으로 분리되는 것과 동일한 방식으로 웨이브프론트 위상의 스펙트럼 변화를 일으킵니다. 그룹 속도는 주파수에 따른 위상 속도의 첫 번째 도함수로 구할 수 있으며 이때 군속도 분산($ \small{\text{GVD}} $: group velocity dispersion)은 주파수에 대한 군속도의 역수의 도함수입니다.

(6)$$ \text{GVD} = \frac{\partial}{\partial \omega} \left( \frac{1}{\nu _g} \right) = \frac{\partial}{\partial \omega} \left( \frac{\partial k}{ \partial \omega} \right) = \frac{\partial ^2 k}{\partial \omega ^2} $$

그룹 속도는 파장이나 주파수를 이용해 굴절률의 일차 도함수로 구할 수 있다는 점에서 스펙트럼 분산과 유사하며 $ \small{\text{GVD}} $는 파장이나 주파수를 이용하는 이차 도함수라는 점에서 부분 분산(partial dispersion)과 유사하게 활용됩니다. $ \small{\text{GVD}} $가 낮은 옵틱을 설계하는 작업은 뛰어난 색채 성능을 위한 설계 작업과 비슷합니다. 단, 아베수와 부분 분산보다는 군속도와 $ \small{\text{GVD}} $에 중점을 둡니다.

$ \small{\text{GVD}} $는 파장의 영향을 크게 받으며 주로 $ \tfrac{\text{fs}^2}{\text{mm}} $ 단위로 표기됩니다. 예를 들어 용융 실리카의 $ \small{\text{GVD}} $는 $ \small{589.3} \text{nm} $에서 $ +57 \tfrac{\text{fs}^2}{\text{mm}} $이며 $ \small{1500 \text{nm}} $에서는 $ -26 \tfrac{\text{fs}^2}{\text{mm}} $입니다. 이러한 파장 사이(대략 $ \small{1.3 \text{µm}} $)에는 $ \small{\text{GVD}} $가 0인 제로 분산 파장이 존재합니다. 그림 3은 용융 실리카의 파장 대비 $ \small{\text{GVD}} $에 관해 보여줍니다. 광섬유 통신에서의 $ \small{\text{GVD}} $는 일반적으로 주파수 대신에 파장에 의해 유도된 것으로 규정되며 주로 $ \tfrac{\text{ps}}{\left( \text{nm} \, \text{km} \right)} $의 단위로 표기됩니다.

>Figure 1.3: GVD vs wavelength for fused silica with a zero-dispersion wavelength around 1.3μm

그림 3: 대략 $ \small{1.3 \text{µm}} $에서 제로 분산 파장을 가지는 용융 실리카의 $ \small{\text{GVD}} $ 대 파장

그림 3에서는 파장에 의한 $ \small{\text{GVD}} $ 의 변화량이 눈에 띄게 많다는 것을 알 수 있습니다. 쇼트 펄스는 본래 스펙트럼이 넓기 때문에 지속 시간이 대략 $ \small{30 \text{fs}} $ 미만인 극히 짧은 지속 시간의 레이저 펄스에서는 매우 큰 문제가 될 수 있습니다. 뿐만 아니라 색 분산은 광학 표면에서 굴절각이 주파수의 영향을 받도록 하기 때문에 각도 분산과 주파수에 따라 광경로 길이의 차이를 유발할 수 있습니다. 이러한 점은 초고속 레이저 시스템과 같은 광대역 시스템에 상당한 영향을 미칩니다.

모드간 분산(intermodal dispersion)은 광학 주파수와 전파 모드 상에서 다중모드 광섬유처럼 도파로(waveguide) 내의 빛의 군속도에 의해 발생합니다.² 이러한 분산은 다중모드 광섬유 통신 시스템에서 데이터 전송 속도 또는 비트 전송률을 심각하게 제한합니다. 대신 단일모드 광섬유나 굴절률 프로파일이 포물선 형태인 다중모드 광섬유를 사용하면 모드간 분산을 방지할 수 있습니다.

편광 모드 분산(polarization mode dispersion)은 편광 상태에 따른 매질 내에서의 전파 특성에 의해 발생하며 데이터 전송 속도가 높은 단일 모드 광섬유 시스템과 연관성이 있을 수 있습니다. 이 세 가지 유형의 분산 모두 자유 공간 또는 광섬유 내에서 울트라쇼트 펄스의 일시적 확장이나 압축을 유발할 수도 있으며 잠재적으로는 이로 인해 분리된 펄스가 서로 혼합되어 인식이 불가능하게 될 수도 있습니다(그림 4).